Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：
①△BCD是等腰三角形；②；③；④S_△EFB=2S_△ADE；⑤AE=．
其中，正确结论的个数为

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

B
分析：根据折叠的性质得到∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，再由AD∥BC得到∠ADB=∠CBD，则∠CBD=∠BDC，可判断△BCD是等腰三角形；设CE=x，则CB=x+1，利用勾故故定理可得到关于x的方程（x+1）²=2²+x²，解得x=，然后利用梯形的面积公式可计算出S_梯形ABCD=（1+）×2=；再在Rt△BCE中，利用余弦的定义可计算出cos∠C===；易证得Rt△ABF∽Rt△DAF，利用相似的性质得到S_△ABF：S_△DAF=AB²：AD²=4：1，而S_△ABF=S_△BEF，S_△DAF=S_△DEF，则有S_△EFB=2S_△ADE；最后利用面积法可计算出AE的长为．
解答：∵三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，
∴∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；
设CE=x，则CB=x+1，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²，即（x+1）²=2²+x²，解得x=，
∴BC=1+x=，
∴S_梯形ABCD=（1+）×2=，所以②正确；
在Rt△BCE中，cos∠C===，所以③错误；
∵AF⊥BD，
∴Rt△ABF∽Rt△DAF，
∴S_△ABF：S_△DAF=AB²：AD²=4：1，
而S_△ABF=S_△BEF，S_△DAF=S_△DEF，
∴S_△EFB=2S_△ADE，所以④正确；
∵S_{四边形ABED}=BD•AE=2S_△ABD，
而BD==，
∴וAE=2××2×1，
∴AE=，所以⑤错误．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等．也考查了等腰三角形的判定、直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．