Question

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4．

(1)在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

(2)如图2，若AE上有一动点P(不与A，E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0＜t＜5)，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 　　在中，，． 　　．． 　　点坐标为(2，4)．　2分 　　在中，，又． 　　．解得：． 　　点坐标为　3分 　　(2)如图①，． 　　，又知，， 　　，又． 　　而显然四边形为矩形． 　　　5分 　　，又 　　当时，有最大值．　6分 　　(3)(i)若以为等腰三角形的底，则(如图①) 　　在中，，，为的中点， 　　． 　　又，为的中点． 　　过点作，垂足为，则是的中位线， 　　，， 　　当时，，为等腰三角形． 　　此时点坐标为．　8分 　　(ii)若以为等腰三角形的腰，则　(如图②) 　　在中，． 　　过点作，垂足为． 　　，． 　　． 　　，． 　　，， 　　当时，()，此时点坐标为．　11分 　　综合(i)(ii)可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或．　12分