Question

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=5

5

，且tan∠EDA=

3

4

．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证两三角形相似，必须得出两组对应角相等，所求的两个三角形中，已知了一组直角，因此只需找出另一组对应角相等即可得出相似的结论．由于∠CDE为90°，那么∠CDO和∠EDA互余，而∠OCD也和∠CDO互余，因此根据同角的余角相等即可得出∠OCD=∠EDA，由此可证得两三角形相似．
（2）本题的关键是求出C、E点的坐标，根据∠EDA的正切值，可设AE=3t，那么DA=4t，DE=5t．则OC=AE+BE=AE+DE=8t，进而可根据（1）的相似三角形得出的关于OC、CD、AD、DE的比例关系式，来求出CD的值，然后可在直角三角形CDE中求出t的值，即可得出AE、BC的长，即确定了E点的坐标，然后根据C，E两点的坐标求出直线CE的解析式，即可求得直线CE与x轴交点P的坐标．
（3）应该有两条如图
①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．
②直线DN，由于∠FCP=∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．

解答：解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．

（2）∵tan∠EDA=

AE

AD

=

3

4

，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得

OC

AD

=

CD

DE

，
∴

8t

4t

=

CD

5t

，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5

5

）²，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴

10k+b=3 b=8

，
解得

k=- 1 2 b=8

∴y=-

1

2

x+8，则点P的坐标为（16，0）．

（3）满足条件的直线l有2条：y₁=-2x+12，y₂=2x-12．
如图：准确画出两条直线．

点评：本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．