Question

如图，若等边△A₁B₁C₁内接于等边△ABC的内切圆，则的值为________．

Answer 1

分析：由于△ABC、△A₁B₁C₁都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作AB、A₁B₁的垂线，连接OA、OA₁；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A₁B₁的长，进而可求出它们的比值．
解答：解：∵△A₁B₁C₁和△ABC都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合．
如图，过点O作AB的垂线，交A₁B₁于E，连接OA、OA₁．
设圆O的半径为R．
Rt△OAD中，∵∠OAD=30°，OD=R，
∴AD=R，即AB=2R．
Rt△OA₁E中，∵∠OA₁E=30°，OA₁=R，
∴A₁E=R，即A₁B₁=R．
∴==．
故答案为．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，等边三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心重合，称为等边三角形的中心（五心合一）．此题用等边△ABC的内切圆的半径分别表示AB、A₁B₁的长是解题的关键．