Question

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F(0，-2).

（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；

（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向

运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒，在运动过

程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关

系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直

接写出点N的坐标；不存在，说明理由。

 

第23题图（1）

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A(0，4)、B(-2，0)、C(6，0)

解得a=-，b=，c=4（或可用交点式求解）

抛物线的解析式为y=-x²+x+4

（或y=-(x+2)(x-6)或y=-(x-2)² +.）

四边形OADE为正方形.

（2）根据题意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2

∴CE=2  ∴CO=FA=6

∵运动的时间为t

∴CP=FQ=t

过M作MN⊥OE于N，

则MN=2

当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t

∴S=+=(6-t)×2+(6-t)

(2- t)=(6-t)(4-t)   ∴S =t²-5t+12.

当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形.

(不写也可)

当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45

∵FQ=CP=t，FO=CE=2  ∴OQ=EP

∴△QOM≌△PEM

∴四边形OPMQ的面积S==×4×2=4

综上所述，当0≤t＜2时，

S=t-5t+12；当2＜t＜6时， S=4

（3）存在N(1，5)，N(5，)，

N(2+，-2)，N(2-，-2)