Question

【题目】探究题：如图1，和均为等边三角形，点在边上，连接．

（1）请你解答以下问题：

①求的度数；

②写出线段，，之间数量关系，并说明理由．

（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点在边上，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题：如图3，在四边形中，，，，与交于点．若恰好平分，请直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）①；②线段、、之间的数量关系为：，理由见解析；

（2），，理由见解析．

（3）理由见解析．

【解析】

（1）①证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论：∠ACE=∠B=60°； ②由△BAD≌△CAE，得BD=CE，利用等边三角形的AC=BC=BD+DC等量代换可得结论；

（2）如图2，先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，同理可得结论；

（3）如图3，作辅助线，构建如图2的两个等腰直角三角形，已经有一个△ABD，再证明△ACF也是等腰直角三角形，则利用（2）的结论求AC的长．

（1）①∵和均为等边三角形，

∴，，，

∴，

即，

∴，

∴，

②线段、、之间的数量关系为：；

理由是：由①得：，

∴，

∵，

∴；

（2），，理由是：

如图2，∵和均为等腰直角三角形，且，

∴，，，

即，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵在等腰直角三角形中，，

∴；

（3）如图3，过作的垂线，交的延长线于点，

∵，，，

∴，，

∵，

∴以BD的中点为圆心，为半径作圆，则A，C在此圆上，

∴、、、四点共圆，

∵恰好平分

∴，

∴是等腰直角三角形，

由（2）得：，

∴．