Question

如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．

Answer 1

【考点】平行四边形的判定．

【专题】证明题．

【分析】易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．

【解答】证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；

又∵AE=CG，AH=CF（已知），

∴△AEH≌△CGF（SAS），

∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；

在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），

∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，

即BE=DG，DH=BF．

又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，

∴△BEF≌△DGH；

∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；

∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．