Question

【题目】在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且，连接、．

若是线段的中点，如图，易证：（不需证明）；

若是线段或延长线上的任意一点，其它条件不变，如图、图，线段、有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)．

【解析】

（1）根据菱形的性质结合∠ABC＝60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE＝∠ABC＝30°，AE＝CE，所以CE＝CF，然后等边对等角的性质可得∠F＝∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F＝30°，从而得到∠CBE＝∠F，根据等角对等边的性质即可证明；

（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC＝60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠ACB＝60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG＝AE，从而可以求出BG＝CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE＝∠ECF＝120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；图3，证明思路与方法与图2完全相同．

∵四边形为菱形，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∵是线段的中点，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

图．

图．

图证明如下：过点作，交于点，

∵四边形为菱形，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∴，，…

又∵，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，…

∴，

∴，…

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴；

图证明如下：过点作交延长线于点，

∵四边形为菱形，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∴，，

又∵，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．