Question

如图，抛物线①y=x²②y=-

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x2，在x轴上有动点P，从原点出发，以每秒2cm的速度沿x轴正方向运动，出发ts后，过P点作与y轴平行的直线交①于点A，交②于点B，过A，B分别作x轴的平行线交①于点D，交②于点C．
（1）求点B、点D的坐标（用含t的式子表示）
（2）点P运动几秒时，四边形ABCD为正方形．

Answer 1

分析：（1）首先表示出P点坐标为（2t，0），代入y=-

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x²可求B点坐标，根据二次函数的对称性求得P点关于y轴的对称点P′（-2t，0），代入y=x²可求D点坐标；
（2）由题意知四边形ABCD为矩形，再由AD=AB联立方程解出t的值即可解答．

解答：解：（1）如图，
P点坐标为（2t，0），代入y=-

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2

x²可求B点坐标为B（2t，-2t²），
P点关于y轴的对称点P′（-2t，0），代入y=x²可求D点坐标为D（-2t，4t²）；

（2）由题意知四边形ABCD为矩形，
当AD=AB时，四边形ABCD为正方形，
即2t-（-2t）=4t²-（-2t²），
6t²=4t，
解得t=

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，
即点P运动

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秒时，四边形ABCD为正方形．

点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性以及正方形的判定与性质．