题目内容

如图，点A在双曲线上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA=4时，△ABC周长为 $数学公式$ ，则反比例函数的表达式为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由于BD是OA的垂直平分线，那么OB=AB，利用△ABC周长为2 $\text{[math]}$ ，易求AC×CO，进而可求k的值．
解答：如图所示，
∵BD是OA的垂直平分线，
∴OB=AB，
∵△ABC的周长=AC+AB+BC=AC+OB+BC=AC+OC=2 $\text{[math]}$ ，
∵AO=4，
设CO=x，则AC=2 $\text{[math]}$ -x，
∴OA²=（2 $\text{[math]}$ -x）²+x²=16，
整理得出：x²-2 $\text{[math]}$ x+6=0，
∴CO×AC=x₂x₁=6，
∴k=AC×CO=6，
∴则反比例函数的表达式为：y= $\text{[math]}$ ．
故选：C．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出CO×AC的值．

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