Question

【题目】如图，在中，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．

（1）用含的代数式表示线段的长；

（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）若为直角三角形，求出的长．

Answer 1

【答案】（1） ；（2），；（3）或

【解析】

（1）根据题意可得△ABC和△BPF为等边三角形，由及等边三角形的性质得出PF=GF=x，从而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；

（2）由含30°直角三角形的性质表示出DE，由（1）可表示出DF，再根据三角形面积的计算公式即可解答；

（3）若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，根据直角三角形的性质列出方程求解即可．

解：（1）∵在中，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵

∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，

∴△BPF为等边三角形，

∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，

∵

∴∠BPE=90°，

∴∠FPE=30°，

∴∠FGP=30°，

∴PF=GF=x

又∵AD⊥BC，

∴BD=CD=1，

∴DG=BF+FG-BD=2x-1

故

（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，

∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，

∴EG=2DE

由勾股定理得：，

∴

∴，

∴

∵，解得，

∴定义域为：

（3）∵∠FPG=30°，

∴若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，

①当∠PFE=90°时，

∠EFD=120°-90°=30°，

∴△EFG为等腰三角形，

∴DF=DG

∵DF=1-x，DG=2x-1，

∴1-x =2x-1

解得：

②当∠PEF=90°时，

∠FED=90°-60°=30°，

∴DE=，

∵，DF=1-x，

∴，

解得：

综上所述，的长为或．