题目内容

如图，已知在△ABC中，BC=6，∠B=45°，cotC= $数学公式$ ．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果⊙A与以BC为直径的⊙0相切，求⊙A的半径．

解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵在△ABC中，∠B=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴BD=AD．
∵cotC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵BC=BD+CD=6，
∴AD=BD=4，CD=2，

∴S_△ABC= $\text{[math]}$ BC•AD= $\text{[math]}$ ×6×4=12，即△ABC的面积是12；

（2）设两圆相切于点E．
如图1，连接两圆圆心OA．
由（1）知，CD=2，AD=4．
∵OC= $\text{[math]}$ BC=3，
∴OD=3-2=1，
∴在直角△AOD中，根据勾股定理知，AO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AE=AO-OE= $\text{[math]}$ -3，即⊙A的半径是 $\text{[math]}$ -3．
如图2，连接AE．
则⊙A的半径=AO+OE= $\text{[math]}$ +3．
综上所述，⊙O的半径是 $\text{[math]}$ -3，或 $\text{[math]}$ +3．
分析：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D．构建等腰直角三角形ABD和直角△ACD．利用等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义求得AD=BD=4，CD=2，则易求△ABC的面积；
（2）如图，连接两圆圆心OA．设两圆相切于点E．在直角△AOD中利用勾股定理可以求得AO的长度，则AE=AO-OE=AO- $\text{[math]}$ BC．或AE=AO+OE．
点评：本题考查了勾股定理，相切两圆的性质．相切两圆的圆心距等于两圆半径之和．