Question

如图，抛物线过点A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，-8），x₁、x₂是方程

1

2

x²-x-4=0的两根，且x₁＞x₂，点D是此抛物线的顶点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）填空：（1）问题中抛物线先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线是

y=（x-3）²-6

；
（3）在第一象限内，问题（1）中的抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=

1

5

S_{四边形ABCD}．

Answer 1

分析：（1）设此抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，令y=0，求出x的值，即可以求出点A和点B的坐标，列出a、b、c的方程组，求出a、b、c即可；
（2）根据平移“上加下减，左加右减”的规律进行作答；
（3）首先根据（1）求出的解析式求出D点的坐标，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，设点P的坐标为（m，n），根据四边形和三角形面积之间的关系，求出n的值，进而求出P点的坐标．

解答：解：（1）设此抛物线的表达式为y=ax²+bx+c
由

1

2

x2-x-4=0得（x-4）（x+2）=0
∵x₁＞x₂，
∴x₁=4，x₂=-2
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（-2，0）
∵抛物线经过点C（0，-8），
∴c=-8
又∵抛物线经过A、B两点，
∴

16a+4b-8=0 4a-2b-8=0

解得：a=1，b=-2，
故设此抛物线的表达式为y=x²-2x-8；

（2）y=（x-3）²-6 或y=x²-6x+3；

（3）存在                                
由y=x²-2x-8得y=（x-1）²-9，
点D的坐标是（1，-9），
过点D作DE⊥x轴，垂足为E，设点P的坐标为（m，n），
∵S_{四边形ABCD}=S_△OBC+S_梯形EOCD+S_△EAD=

1

2

×2×8+

1

2

×(9+8)×1+

1

2

×3×9=8+

17

2

+

27

2

=30…（7分）S△PAB=

1

2

×6×n=3n
又∵S△PAB=

1

5

S四边形ABCD
∴3n=

1

5

×30，
∴n=2，
∵点P在抛物线上，
∴x²-2x-8=2，
解得：x1=1+

11

，x2=1-

11

（舍去）
故点P的坐标为（1+

11

，2）．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是掌握二次函数的性质和平移的知识，特别是第三问需要弄清楚四边形和三角形之间的面积关系，此题难度较大．