Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a＝，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；

（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；

②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．

【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，

∴BD=CD=1 2 BC=6cm，

∵a=2，

∴BP=2tcm，DQ=tcm，

∴BQ=BD-QD=6-t（cm），

∵△BPQ∽△BDA，

∴BP BD =BQ AB ，

即2t 6 =6-t 10 ，

解得：t=18 13 ；

（2）①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，

∴PB=CM，

∴PB=PQ，

∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，

∵a=5 2 ，

∴PB=5 2 tcm，

∵AD⊥BC，

∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD，

即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，

解得：t=3 2 ，

∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；

②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．

若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，

∴∠PCQ=∠CPM，

∴∠CPM=∠PCM，

∴PM=CM，

∴四边形PQCM是菱形，

∴PQ=CQ，

∴PB=CQ，

∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），

∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），

即at=6+t①，

∵PM∥CQ，

∴PM：BC=AP：AB，

∴6+t 12 =10-at 10 ，

化简得：6at+5t=30②，

把①代入②得，t=-6 11 ，

∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．