Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°，点E为BD延长线上一点，且AE=AB．

【小题1】（1）求∠ADE的度数；
【小题2】（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．

Answer 1

【小题1】解：（1）如图4．
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．   ----------------1分
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2=∠BAC==15°．   -----------------2分
∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．   -----------3分
【小题2】（2）证法一：取BE的中点N，连接AN．（如图5）
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM为等边三角形．   ----------4分
∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，
∴BN=NE，且AN⊥BE．
∴DN=NM．   ----------------5分
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME．
∵DB=DC，
∴ME = DC．   ------------6分
证法二：如图6．
∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，
∴△ADM为等边三角形．   ----------4分
∴∠3=60°．
∵AE=AB，
∴∠E=∠1=45°．
∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△AEM中，
             ∠1 =∠E，
AB=AE，
∠2 =∠4，
∴△ABD≌△AEM．   -------------5分
∴BD =EM．
∵DB = DC，
∴ME = DC．   --------------------6分

解析