Question

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，线段AD是BC边上的中线．

(1)如图(Ⅰ)，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，连结AF．

求证：四边形ADEF是等腰梯形；

(2)如图(Ⅱ)，在(1)的条件下，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α(0°＜α＜90°)连结AF、DE．

①当AC⊥CF时，求旋转角α的度数；②当α＝60°时，请判断四边形ADEF的形状，并给予证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵△ADC沿直线BC平移得到△FCE， 　　∴AD∥FC，且AD＝FC，∴四边形ADCF是平行四边形， 　　∴AF∥DC，即AF∥DE，　1分 　　∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACD＝60°， 　　∵AD是BC边上的中线，∴AD＝DC，　2分 　　∴△ADC是等边三角形，　3分 　　∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等边三角形， 　　∴AD＝FE，　4分 　　∵AF≠DE，∴四边形ADEF是等腰梯形．　5分 　　(2)①解：由(1)可知∠1＝60°，　6分 　　当AC⊥CF时，∠2＝90°－60°＝30°， 　　∴旋转角的度数为30°，　7分 　　②四边形ADEF为矩形，　8分 　　由(1)可知△ADC和△FCE是全等正三角形， 　　∴CA＝CE＝CD＝CF，　9分 　　当α＝60°时，如图(Ⅲ)，∠ACF＝60°＋60°＝120°， 　　∴∠ACE＝120°＋60°＝180°，∴A、C、E三点共线，同理：D、C、F三点共线，　10分 　　∴AE＝DF，　11分 　　∴四边形ADEF为矩形．　12分