Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数图像经过点B、D．

(1)请直接写出用m表示点A、D的坐标；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(3－m，0)，D(0，m－3)；2分 　　(2)设以P(1，0)为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)2(a≠0) 　　∵抛物线过点B、D， 　　∴；解得；4分 　　所以二次函数的解析式为y＝(x－1)2， 　　即：y＝x2－2x＋1；5分 　　(3)设点Q的坐标为(x，x2－2x＋1)，显然1＜x＜3；6分 　　连结BP，过点Q作QH⊥x轴，交BP于点H． 　　∵A(－1，0)，P(1，0)，B(3，4) 　　∴AP＝2，BC＝3，PC＝2 　　由P(1，0)，B(3，4)求得直线BP的解析式为y＝2x－2 　　∵QH⊥x轴，点Q的坐标为(x，x2－2x＋1) 　　∴点H的横坐标为x，∴点H的坐标为(x，2x－2) 　　∴QH＝2x－2－(x2－2x＋1)＝－x2＋4x－3；7分 　　∴四边形ABQP面积S＝S△APB＋S△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC 　　＝×2×4＋×(－x2＋4x－3)×2 　　＝－x2＋４x＋1＝－(x－2)2＋5；9分 　　∵1＜x＜3 　　∴当x＝2时，S取得最大值为5，10分 　　即当点Q的坐标为(2，1)时，四边形ABQP面积的最大值为5． 　　说明：用平行于PB的直线与抛物线相切于点Q的方法而得出准确结果不给全分(注：初中阶段没有解题依据)，可统一扣1分．