Question

阅读以下材料：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

； 

1

2×4

=

1

2

(

1

2

-

1

4

)； 

1

3×6

=

1

3

(

1

3

-

1

6

)；

1

1×5

=

1

4

(

1

1

-

1

5

)…
（1）观察以上式子，其规律可用

1

n×(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)

表示
（2）根据以上规律，若有理数a、b满足|a-1|+|b-3|=0，试求：

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

+…+

1

(a+100)(b+100)

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的式子分析可得出：分子都是1，括号前分数的分母是n+k-n=k，括号里的式子是

1

n

-

1

n+k

；
（2）根据非负数的性质结合|a-1|+|b-3|=0，先求出a=1，b=3，再代入后面的式子运用（1）中的规律求解即可．

解答：解：（1）其规律可用

1

n×(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)表示；
（2）∵|a-1|+|b-3|=0，
∴a=1，b=3；
∴

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

+…+

1

(a+100)(b+100)

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

101

-

1

103

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

+…-

1

103

)
=

1

2

×（1-

1

103

）
=

1

2

×

102

103

=

51

103

．

点评：本题主要考查了数字的变化类，通过分析、总结、归纳寻找规律型，一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．