Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）求证：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

考点：

切线的判定；相似三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ABD∽△CAD，推出=，证△FAD∽△FDB，推出=，即可得出AB：AC=BF：DF．

解答：

证明：（1）连结DO、DA，

∵AB为⊙O直径，

∴∠CDA=∠BDA=90°，

∵CE=EA，

∴DE=EA，

∴∠1=∠4，

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵∠4+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠EDO=90°，

∵OD是半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA，

∵∠CDA=∠BDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴=，

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，

∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，

∵∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB，

∴=，

∴=，

即AB：AC=BF：DF．

点评：

本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．