题目内容
【题目】△ABC中,∠C=60°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE=α.
(1)如图①所示,如果点P在线段BA上,且α=30°，那么∠PEB+∠PDA=___；
(2)如图②所示，如果点P在线段BA上运动，
①依据题意补全图形；
②写出∠PEB+∠PDA的大小(用含α的式子表示)；并说明理由。
(3)如果点P在线段BA的延长线上运动,直接写出∠PEB与∠PDA之间的数量关系(用含α的式子表示).那么∠PEB与∠PDA之间的数量关系是___.
【答案】（1）90°；（2）①见解析，②60°α；（3）60°+α或60°α或60°；
【解析】
（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）①根据题意画出图形即可；
②由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．
;(1)∠PEB+∠PDA=90；理由如下；
连接PC，如图1所示
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角
∴∠PDA=∠1+∠2,
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+30°=90
故答案为：90°；
(2)①如图2所示；
②连接PC，如图3所示：
∵∠PEB是△PEC的外角，
∴∠PEB=∠3+∠4，
∵∠PDA是△PDC的外角,
∴∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB+∠PDA=∠1+∠2+∠3+∠4=∠C+∠DPE=60°+α；
∴∠PEB+∠PDA=60°+α；
(3)分三种情况：
①如图4所示：
连接PC,
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2+∠3，∠PDA=∠1+∠2
∴∠PEB∠PDA=∠ACB+∠3=60°+α；
②如图5所示：连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2,∠PDA=∠1+∠2+∠3
∴∠PEB∠PDA=∠ACB∠3=60°α；
③如图6所示：P、D. E在同一条直线上，连接PC，
由三角形的外角性质得：
∠PEB=∠ACB+∠1+∠2，∠PDA=∠1+∠2，
∴∠PEB∠PDA=∠ACB=60°；
综上所述：如果点P在线段BA的延长线上运动,
∠PEB与∠PDA之间的数量关系是60°+α或60°α或60°；
故答案为：60°+α或60°α或60°.
