题目内容

（1）数学探究：如图1，三角形ABC的BC边上有一点D，连接AD．三角形ABD与三角形ADC的面积之比为1：2．求BD：CD．
（2）解决问题：如图2，一块四边形的土地上均匀的种植玉米，对角线AC、BD相交于O，收割时三角形DOC区域的玉米产量为12吨．三角形COB区域的玉米产量为18吨，三角形AOB区域的玉米产量为21吨，请估计出三角形AOD区域的玉米产量．
分析：（1）根据的高的三角形的面积的比等于底边的比解答；
（2）设△AOD区域的玉米产量为x吨，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列式表示出
OD
OB
，然后计算即可得解．
解答：解：（1）∵△ABD的底边BD上的高，△ACD的底边CD上的高都是点A到BC的距离，
∴
S△ABD
S△ACD
=
BD
CD
=
1
2
，
即BD：CD=1：2；

（2）设△AOD区域的玉米产量为x吨，
∵
S△DOC
S△COB
=
OD
OB
，
S△AOD
S△AOB
=
OD
OB
，
∴
12
18
=
x
21
，
解得x=14，
答：△AOD区域的玉米产量是14吨．
点评：本题考查了三角形的面积，主要利用了等高的三角形的面积的比等于底边的比．
练习册系列答案
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小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接AD和BC，他想到了四边形ABDC的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：
如图2，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，设点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．请你接着往下解决三个问题：
（1）猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状，直接回答
 
，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
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探究题
如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中按a次幂从大到小排列的项的系数．规定任何非零数的零次幂为1，如（a+b）0=1．例如，
（a+b）1=a+b展开式中的系数1、1恰好对应图中第二行的数字；
（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．
（1）请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
．
（2）类似地，请你探索并画出（a-b）0，（a-b）1，（a-b）2，（a-b）3的展开式中按a次幂从大到小排列的项的系数对应的三角形．
（3）探究解决问题：已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．

（1）第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程  ▲  ．

（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，判断以AD、AF和AH为三边能否构成三角形？若能构成，请判断这个三角形的形状，若不能构成，请说明理由．

（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝4，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与的大小关系．

 

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．


【小题1】第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程是           ▲           ．
【小题2】第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
【小题3】第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

【小题4】探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S△AOB'＋S△BOC'＋S△COA'与的大小关系．

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