Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S_△AOB=8．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）若该二次函数与x轴的另一个交点为C，顶点坐标为点M，四边形AMBC的面积．

Answer 1

分析：（1）由当x=0时，y=4，即可得点A坐标为（0，4），又由S_△AOB=8，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，利用三角形的面积，即可求得点B的坐标；
（2）将点B的坐标代入二次函数y=-x²+（k-1）x+4的解析式，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（3）根据（2）的解析式，即可求得点C与M的坐标，然后由S_{四边形AMBC}=S_△MNB+S_梯形MNOA+S_△AOC，即可求得四边形AMBC的面积．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，
∴当x=0时，y=4，
∴点A坐标为（0，4），
设点B坐标为（x，0），且x＜0，
∵S_△AOB=

1

2

×4×|x|=8，
∴|x|=4，
∴x=-4，
∴点B的坐标为（-4，0）；

（2）∵点B的坐标为（-4，0），
代入二次函数y=-x²+（k-1）x+4的解析式得：-16-4（k-1）+4=0，
解得：k=-2，
∴此二次函数的解析式为：y=-x²-3x+4；

（3）当-x²-3x+4=0时，
解得：x=-4或x=1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴点M的坐标为（-

3

2

，

25

4

），
则对称轴与x轴的交点N的坐标为（-

3

2

，0），
∴BN=4-

3

2

=

5

2

，ON=

3

2

，MN=

25

4

，OA=4，OC=1，
∴S_{四边形AMBC}=S_△MNB+S_梯形MNOA+S_△AOC=

1

2

×

5

2

×

25

4

+

1

2

×（4+

25

4

）×

3

2

+

1

2

×1×4=

35

2

．

点评：此题考查了点与函数的关系，待定系数法求二次函数的解析式以及四边形面积的求解方法等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．