Question

（2012•广陵区二模）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．

Answer 1

分析：（1）连接AE．通过AB⊥BF，点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线；
（2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线AB∥CG．由“平行线截线段成比例”知

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，从而求得FG的值；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度；最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值．

解答：解：（1）BF为⊙O的切线．
证明：连接AE．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF为⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥BF于点G．
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
∴AC=10（勾股定理）；
又∵AC=AB=6
∴CF=4；
∵CG⊥BF，AB⊥BF，
∴CG∥AB，
∴

FG

BF

=

FC

AF

=

4

10

=

2

5

，（平行线截线段成比例），
∴FG=

16

5

，
由勾股定理得：CG=

CF2-FG2

=

12

5

，
∴BG=BF-FG=8-

16

5

=

24

5

，
在Rt△BCG中，tan∠CBF=

CG

BG

=

1

2

．

点评：本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．