Question

如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证：EO＝FO

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

如图： (1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线． ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF ∵MN∥BC ∴∠OEC＝∠ECB，∠OFC＝∠FCD ∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC ∴OE＝OC，OF＝OC ∴OE＝OF (2)当点O运动到AC的中点时，即OA＝OC 又由(1)证得OE＝OF ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA+∠ACF＝∠ACB+∠ACD＝ (∠ACB+∠ACD)＝90° 即∠ECF＝90° ∴四边形AECF是矩形． 因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

提示：

如图： (1)要证明OE＝OF，可借助第三条线段OC，即证：OE＝OC，OF＝OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明． (2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角． 由已知可得到：∠ECF＝90°，由(1)可证得OE＝OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA＝OC．