Question

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，

（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）10，9.6.

试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，CE⊥AB，易得∠2=∠A，又由C是的中点，可得∠1=∠A，即可得∠1=∠2，判定CF=BF；
（2）由C是的中点，可得BC=CD=12，又由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，即可求得AB的长，然后由三角的面积，求得CE的长．
试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=∠A，
又∵C是弧BD的中点，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；
（2）∵C是的中点，
∴，
∴BC=CD=12，
又∵在Rt△ABC中，AC=16，
∴由勾股定理可得：AB=20，
∴⊙O的半径为10，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴．
考点: 1.圆周角定理；2.勾股定理；3.圆心角、弧、弦的关系．