Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）在过点E（4，0）的真线上是否存在这样的点M，使得∠AMB为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）求出点C的坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，再求出直线AC的解析式，根据抛物线的解析式求出对称轴，设对称轴与直线AC相交于H，根据S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，列式求出DH的长，再分点D在AC的上方与下方两种情况讨论求出点D的坐标即可；
（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作⊙F，过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M，连接FM，过点M作MN⊥x轴于N，先求出EF、FN再根据勾股定理列式求出ME，然后根据△FMN和△FEM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MN、FN，再求出ON，再分点M在x轴上方与下方两种情况写出点M的坐标．
解答：解：（1）令y=0，则-x²-x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴点A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=×6×3=9，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x+3，
抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
所以，x=-1时，y=（-1）×+3=，
设对称轴与直线AC相交于H，
则点H的坐标为（-1，），
∵△ACD的面积等于△ACB的面积，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=DH×4=6，
解得DH=，
点D在AC的上方时，+=，
此时点D的坐标为（-1，），
点D在AC的下方时，-=-，
此时，点D的坐标为（-1，-），
综上所述，△ACD的面积等于△ACB的面积时，点D的坐标为（-1，）或（-1，-）；

（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作⊙F，
则过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M，
如图，连接FM，过点M作MN⊥x轴于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴点F（-1，0），
FM=×6=3，EF=4+1=5，
根据勾股定理，ME===4，
易得△FMN∽△FEM，
∴==，
即==，
解得MN=，FN=，
∴ON=FN-OF=-1=，
∴点M在x轴上方时，点M的坐标为（，），
点M在x轴下方时，点M的坐标为（，-），
综上所述，点M的坐标为（，）或（，-）．
点评：本题考查了关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中对于∠AMB为直角的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用．