Question

已知关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0。

[1]求证：方程恒有两个不相等的实数根；

[2]若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

Answer 1

解：[1]证明：∵△=[m+2]²-4[2m-1]=[m-2]²+4，

∴在实数范围内，m无论取何值，[m-2]²+4≥4，即△≥4，

∴关于x的方程x²-[m+2]x+[2m-1]=0恒有两个不相等的实数根；

[2]根据题意，得

1²-1×[m+2]+[2m-1]=0，

解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；

该直角三角形的周长为1+3+=4+；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2。