Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠A=60°，∠APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F、G，且BD•AE=2

3

．
（1）求证：△BPD∽△APE；
（2）求FE•EG的值；
（3）求tan∠BDE的值．

Answer 1

分析：（1）欲证△BPD∽△APE，必须找出角的等量关系，由PB是圆的切线，得出角∠PBC=∠A，再由PF是∠APB的平分线，得出∠APE=∠BPD，从而得出结论．
（2）由△BPD∽△APE得出角的等量关系，再由角相等得出边相等，然后由已知条件得出结论．
（3）由△BPD∽△APE得出对应边的比例关系，再由弦切角定理得出∠ABP=90°，再由角A的正弦值得出对应边的长度，再求tan∠BDE的值即可．

解答：（1）证明：∵BP切⊙O于点B，
∴∠PBC=∠A．
又∵PF为∠APB的角平分线，
∴∠APE=∠BPD．
∴△BPD∽△APE．

（2）解：∵△BPD∽△APE，
∴∠BDP=∠AEP．
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
又∵BD•AE=2

3

，
∴BE•AE=2

3

．
∴FE•EG=BE•AE=2

3

．

（3）解：∵△BPD∽△APE，
∴

BD

AE

=

PB

PA

．
又∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，
∴∠ABP=90°．
而∠A=60°，
∴sin∠A=sin60°=

PB

PA

=

3

2

，
∴

BD

AE

=

3

2

．
又BD=BE，
∴

BE

AE

=

3

2

．
又∵BE•AE=2

3

，
∴AE=2，BE=

3

．
∴AB=2+

3

，tan60°=

PB

AB

．
∴PB=2

3

+3．
∴tan∠BDE=tan∠BED=

BP

BE

=

2 3 +3

3

=2+

3

．

点评：本题主要考查，相似三角形的判定，弦切角定理以及角的正弦值、正切值的计算，难度适中．