Question

已知：如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.

(1)    求证：∠ABE=∠C；

(2)    若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长；

(3)    若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于点D，连接FC，则△DFC是什么三角形？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵ ∠AEB=∠ABC，

           且∠AEB=∠EBC＋∠C，∠ABC=∠EBC＋∠ABE，

           ∴ ∠EBC＋∠C＝∠EBC＋∠ABE，

           ∴ ∠ABE＝∠C；

（2）解：  ∵ ∠BAE的平分线AF交BE于F，

   ∴ ∠BAF＝∠DAF，

   ∵ FD∥BC交AC于D，

   ∴ ∠ADF＝∠C，

   ∵ ∠ABE＝∠C，

   ∴ ∠ADF＝∠ABE，即∠ADF＝∠ABF，

           ∵ AF＝AF，

           ∴ △BAF≌△DAF，

           ∴ AD＝AB＝6,

           ∴ DC＝AC－AD＝10－6＝4.

（3）解：  △DFC是等腰三角形.理由是：

           过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，

           易证：

△AFH≌△AFM（AAS），从而知FH＝FM，

△BFH≌△BFM（AAS），从而知FH＝FN，

           ∴FM＝FN，又FC＝FC，可证Rt△CFM≌Rt△CFN（HL）

           ∴∠MCF＝∠NCF，

           ∵FD∥BC，

           ∴∠DFC＝∠BCF，

           ∴∠DFC＝∠MCF，

           ∴DF＝DC，

           ∴△DFC是等腰三角形.