Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内。
（1）  求点E的坐标；
（2）  点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，
连结PN。设PE=x.△PMN的面积为S。
① 求S关于x的函数关系式；
② △PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由。若存在，求出面积的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）。设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′;探究：在运动过程中，等腰梯形ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式。

Answer 1

（1）E（1，）                    
（2）①当0≤X≤1时，S=               
当1＜X≤4时，S=-    
②若0≤X≤1时，S=             
若1＜X≤4时，S=-
∵-＜0 ∴S随X的增大而减小
∴S不存在最大值                    
∴综上所述，当0≤X≤1时，S存在最大值，最大值为  
（3）当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，这时重叠部分的面积即为直角梯形面积，y=×（2+3）× =
当2＜X≤4时，y=×（4-t+5-t）× =- t+
当4＜X≤5时，y=(5-t)×× (5-t)= （5-t）²

解析