Question

如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD=45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA=30°，
（1）请你根据这些数据求出河宽是多少？（结果保留根号）
（2）填空：若把条件“∠CBA=30°”改为“sin B=5：13”则此时河宽=

 

米．

Answer 1

分析：过C作AB的垂线CD，则直角△ACD和直角△BCD有公共边CD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用CD表示出AD与BD，根据AB=AD-BD即可列方程，从而求得CD的长．

解答：解：
（1）过点C作CD⊥AB于点D．
在直角△ACD中，∠ACD=45°，则直角△ACD是等腰直角三角形，则AD=CD．
在直角△BCD中，∠CBD=90-60=30°
∴BD=

3

•CD
∵AB=BD-AD
∴60=

3

CD-CD
∴CD=

60

3 -1

=30（

3

+1）米．
故该船继续航行（沿原方向）无触礁的危险；

（2）∵sin B=5：13，
∴tan∠DCB=

12

5

，
∴BD=

12

5

CD，
则

12

5

CD-CD=60，
解得：CD=

300

7

米．
故答案是：

300

7

．

点评：本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．