Question

【题目】如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P.

图1 图2

①请说明△PQR是等边三角形的理由；

②若BD=1.3㎝，则AE=_______㎝（填空）

③如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.4cm；（3）.

【解析】

（1）△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；（2）灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识；（3）根据（1）（2）得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），得3DB=AB易求结果.

解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形；

（2）∠DQB=30°，BD=1.3cm，
∴BQ=2.6cm，
CQ=4-2.6=1.4cm，
∠QRC=30°，
∴CR=2.8cm，
AR=4-2.8=1.2cm，
∠AER=30°，
AE=2AR=2.4cm；

（3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=（cm）．