Question

已知：如图，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，对角线BD交y轴于点E，AB=

2

，AD=2，AE=

2

3

．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S_△PBD=S_?ABCD？若存在，请求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠ADE=∠EBO，可根据∠ADE的正切值求出BO，OE的比例关系，然后在直角三角形AOB中，用勾股定理即可求出OB，OE的长，也就得出了B点的坐标．
（2）由（1）可求出OA的长，也就得出了A，D的坐标，然后根据A、B、D三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先在x轴上找出一点F（在C点右侧）使得S_△FBD=S_?ABCD，那么可得出F点的坐标为（3，0），如果过F点坐标BD的平行线，那么平行线上的点与BD组成的三角形的面积就都与平行四边形ABCD的面积相等（这些三角形都以BD为底边，以平行线间的距离为高）．那么P点必为此直线与抛物线的交点，可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线的解析式来求出P点的坐标．（在y轴两侧各有一个类似F的点，如图）．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BO，
∴△BOE∽△DAE
∴

BO

AD

=

EO

AE

，
即

BO

2

=

EO

2 3

∴BO=3EO
在直角三角形ABO中，由AB²=BO²+AO²，
即（

2

）²=BO²+（

2

3

+

1

3

BO）²．
整理得5BO²+2BO-7=0，
解得BO=1（负值舍去），
∴B（-1，0）．

（2）由（1）知：EO=

1

3

BO=

1

3

，
∴AO=

2

3

+

1

3

=1．
∴A（0，1），D（2，1）
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、D三点的坐标代入，
得：

c=1 a-b+c=0 4a+2b+c=1

，
解得

a=- 1 3 b= 2 3 c=1

，
y=-

1

3

x²+

2

3

x+1．

（3）①过F（3，0）作FK∥BD交AD延长线于K，可得K（6，1）．
则FK上任一点与BD组成的三角形的面积等于S_?ABCD，
可求得直线FK的解析式为y=

1

3

x-1．
解

y= 1 3 x-1 y=- 1 3 x2+ 2 3 x+1

，
得：

x1=-2 y1=- 5 3

；

x2=3 y2=0

．
②过点F′（-2，1）作F′K′∥BD交x轴于K′，可的K′（-5，0）．
同样F′K′上的任一点与BD组成的三角形面积等于S_?ABCD．
可求得直线F′K′的解析式为y=

1

3

x+

5

3

．
解

y= 1 3 x+ 5 3 y=- 1 2 x2+ 2 3 x+1

知该方程组无解．
综上所述，满足条件的P点的坐标为（-2，-

5

3

）或（3，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、图形面积的求法、平行四边形的性质等知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．