题目内容
如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB•DC．其中正确的是（ ）| A、①②③④ | B、只有①② | C、只有①②④ | D、只有③④ |
分析：根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断．
解答：
解：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
=
即：OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
解：∵BA，BE是圆的切线．∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
| OA |
| CD |
| AB |
| OD |
即：OA•OD=AB•CD
∴AD2=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
点评：本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，对定理的灵活运用是解决本题的关键．
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