Question

【题目】问题背景：在中，边上的动点由向运动（与，不重合），点与点同时出发，由点沿的延长线方向运动（不与重合），连结交于点，点是线段上一点.

（1）初步尝试：如图，若是等边三角形，，且点，的运动速度相等，求证：.

小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：过点作，交于点，先证，再证，从而证得结论成立；

思路二：过点作，交的延长线于点，先证，再证，从而证得结论成立.

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）

（2）类比探究：如图，若在中，，，且点，的运动速度之比是，求的值；

（3）延伸拓展：如图，若在中，，，记，且点、的运动速度相等，试用含的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；

（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD=GD，由题意AD=CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；

（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出，△DGH∽△ABC，得出，证明△DFG∽△EFC，得出，，即可得出结果．

解：（1）证明：选择思路一：

如题图1，过点作，交于点，

∵是等边三角形，∴，.

∴是等边三角形.∴.

∵，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

（2）如图2，过点作，交于点，

则，

∵，∴.

∴，.

由题意可知，，∴.

∵，∴，.

∴.∴.

∴，即.

∴.

（3），理由如下：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：

则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，
∵∠ADH=∠BAC=36°，
∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，
∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

，

∴△DGH∽△ABC，

，

，

∵DG∥BC，
∴△DFG∽△EFC，

，

，

即，

，

.