Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）+k²-3=0
（1）当k为什么数时方程有两个不相等的实数根？
（2）若方程的两个实数根分别为x₁、x₂，且(x1+x2)2-(x1+x2)=6，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于方程有两个不相等的实数根时，△＞0，列出关于k的不等式，解答即可．
（2）利用根与系数的关系，建立关于k的方程，解方程即可．

解答：解：（1）当方程有两个不相等的实数根时，
△=[-2（k+1）]²-4（k²-3）＞0，
整理得，k²+1+2k-k²+3＞0，
即2k+4＞0，
k＞-2．
（2）根据根与系数的关系可知：x₁+x₂=2（k+1），
由于(x1+x2)2-(x1+x2)=6，
则有[2（k+1）]²-2（k+1）=6，
整理得，k²+k-3=0，
即：k=

-1± 13

2

．

点评：本题考查了根的判别式与根与系数的关系，是一道常见的综合题．