Question

在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）画出△ABC，点C的坐标是

 

，△ABC的面积是

 

；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C，连接AB₁、BA₁，试判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作线段AB的垂直平分线，第一象限内有3个格点，符合条件的只有一个（1，1），再用割补法求得面积即可；
（2）延长AC、BC至点A₁、B₁，使A₁AC=AC，BC=BC₁，即可得到△A₁B₁C，再根据矩形的判定定理：对角线平分且相等的四边形为矩形证得结论．

解答：解：（1）如图，

S_△ABC=3×3-

1

2

×2×2-

1

2

×1×3-

1

2

×1×3
=9-2-1.5-1.5
=4；
（2）∵AC=BC，A₁C=B₁C，BC=B₁C，AC=A₁C，

∴AA₁=B₁B，
∴四边形AB₁A₁B是矩形（对角线平分且相等的四边形为矩形）．

点评：本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质以及勾股定理，熟练掌握对角线平分且相等的四边形为矩形是矩形的重要判定定理．