Question

已知关于x的方程x²+（2m-3）x+m²+6=0的两根x₁，x₂的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以

1

x1

，

1

x2

为两根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）先根据方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，再根据根与系数的关系求出m的值，在m的取值范围内找出合适的值即可；
（2）求出

1

x1

+

1

x2

与

1

x1

•

1

x2

的值，再根据根与系数的关系得出所求方程．

解答：解：（1）∵原方程有两实根
∴△=（2m-3）²-4（m²+6）=-12m-15≥0得m≤-

3

2

①…（3分）
∵x₁+x₂=-（2m-3）x₁x₂=m²+6…（4分）
又∵x₁x₂=2（x₁+x₂），
∴m²+6=-2（2m-3）
整理得m²+4m=0解得m=0或m=-4…（6分）
由①知m=-4…（7分）

（2）∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-(2m-3)

m2+6

=

1

2

…（9分），

1

x1

.

1

x2

=

1

x1x2

=

1

m2+6

=

1

22

…（11分）
由韦达定理得所求方程为x2-

1

2

x+

1

22

=0…（13分）

点评：本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，即x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．