Question

26、（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，求证：BD+CE=DE；
（2）如图2，△ABC的外角平分线BF、CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD，CE，DE之间存在什么关系？
（3）如图3，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD，CE，DE之间存在什么关系？根据（1）、（2）写出你的猜想，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）、根据已知条件，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够证明BD+CE=DE．
（2）、根据已知条件，同理，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够得到BD+CE=DE．
（3）、根据已知条件，同理，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够得到BD-CE=DE．

解答：证明：（1）∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD+CE=DE；
（2）∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD+CE=DE；
（3）猜想：BD-CE=DE，
∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DF=BD，CE=EF，
∴BD-CE=DE．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．