Question

已知：如图，AB是半圆的直径，AB=10，梯形ABCD内接于半圆，CE∥AD交AB于E，BE=2，求∠A的余弦值．

Answer 1

分析：根据平行线所夹的弧相等得到弧AD=弧BC，再根据在同圆中弧相等弦相等得到AD=BC，则四边形AECD为平行四边形，得到CD=AE=AB-BE=8．设圆心为O，作OG⊥CD于G，连OC，根据垂径定理得到DG=CG=4，利用勾股定理计算出OG，作DF⊥OA于F，则DF=OG=3，利用等腰梯形的性质计算出AF，再根据勾股定理求出AD，最后利用余弦的定义求解即可．

解答：解：连OD，如图，
∵四边形ABCD为梯形，
∴CD∥AB，
∴∠AOD=∠ODC，∠BOC=∠OCD，
而∠ODC=∠OCD，
∴∠AOD=∠BOC，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC
又∵CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴CD=AE=AB-BE=8
设圆心为O，作OG⊥CD于G，连OC，
∴DG=CG=4．
∴OG=

OC2-CG2

=3．
作DF⊥OA于F，则DF=OG=3，
AF=OA-OF=OA-DG=1．
∴AD=

AF2+DF2

=

10

．
∴∠A的余弦：cosA=

1

10

=

10

10

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系；也考查了垂径定理和勾股定理以及等腰梯形的性质．