Question

如图，一次函数y=

1

2

x-2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上一点，作PQ∥OB，且与OA交于点C，与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象交于点Q．若tan∠QOC=

1

3

，且|OC|=3．
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）四边形OBPQ的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正切值可求出CQ的值，从而求出Q点的坐标，点Q在反比例函数上，从而可求出反比例函数的解析式．
（2）四边形OBPQ的面积等于三角形COQ的面积加上梯形PCOB的面积，可分别求出三角形和梯形的面积，可得解．

解答：解：（1）∵tan∠QOC=

1

3

，且|OC|=3，而tan∠QOC=

CQ

OC

，
∴

CQ

3

=

1

3

，
解得CQ=1．
∴点Q的坐标为（3，1）．（3分）
∵点Q在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴1=

k

3

，k=3，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

；（5分）

（2）∵OC=3，PQ∥OB，且与OA交于点C，
∴点P的横坐标为3，
∵P为线段AB上一点，设点P的纵坐标为m，
则m=

1

2

×3-2=-

1

2

，
∴点P的坐标为（3，-

1

2

）．（7分）
一次函数y=

1

2

x-2的图象分别与y轴交于B点，
∴点B坐标为（0，-2），
∴S_{四边形obpq}=S_△COQ+S_COBP=

1

2

×3×1+

1

2

(

1

2

+2)×3=

21

4

．（10分）

点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键是根据图象上的点确定解析式，以及用切割法求多边形的面积．