Question

将直角△ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的点A′，请你先证明A′B′⊥AB，并利用阴影部分面积完成勾股定理的证明．
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a²+b²=c²．
证明：作△A′B′C≌△ABC，使点A的对应点A′在边BC上，
连接AA′、BB′，延长B′A′交AB于点M．

Answer 1

证明：作△A′B′C≌△ABC，使点A的对应点A′在边BC上，
连接AA′、BB′，延长B′A′交AB于点M，
∵∠A′B′C=∠ABC，∠BA′M=∠B′A′C，
∴∠BMA′=∠BCA=90°，
∴A′B′⊥AB，
∵△A′B′C≌△ABC，
∴AC=A′C=b，BC=B′C=a，AB=A′B′=c，
∵S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B，
∴b²+a²=c（c+A′M）-cA′M，
∴b²+a²=c²，
∴a²+b²=c²．
分析：首先作△A′B′C≌△ABC，再利用S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B，进而得出a²+b²=c²．
点评：此题主要考查了勾股定理的证明，根据全等三角形的性质以及三角形面积求法得出S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B是解决问题的关键．