题目内容
梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AC⊥BD，AD=1，BC=4，则两条对角线AC：BD为（ ）
分析：过A作AE∥BD，根据平形四边形的性质得到△AEB∽△CAB，利用相似三角形的性质求得AB的长，然后利用△AEC∽△ABC求得结论即可．
解答：解：
过A作AE∥BD
∵AE∥BD，AD∥BC
∴AEBD为平行四边形
∴AE=BD，AD=BE
∵AC⊥BD
∴AE⊥AC
∵∠A=90°
∴AB⊥BC
∴∠ACB+∠AEB=∠AEB+∠EAB=90°
∴∠ACB=∠EAB
∴△AEB∽△CAB
∴
=
∴AB2=BC×BE=1×4=4
∴AB=2
∵AB⊥BC，AE⊥AC
∴△AEC∽△ABC
∴
=
=
=
∴AC：BD=2：1
故选B．
过A作AE∥BD∵AE∥BD，AD∥BC
∴AEBD为平行四边形
∴AE=BD，AD=BE
∵AC⊥BD
∴AE⊥AC
∵∠A=90°
∴AB⊥BC
∴∠ACB+∠AEB=∠AEB+∠EAB=90°
∴∠ACB=∠EAB
∴△AEB∽△CAB
∴
| AB |
| BE |
| BC |
| AB |
∴AB2=BC×BE=1×4=4
∴AB=2
∵AB⊥BC，AE⊥AC
∴△AEC∽△ABC
∴
| AE |
| AC |
| AB |
| BC |
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴AC：BD=2：1
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的性质，解题的过程中两次用到了相似三角形，难度较大．
练习册系列答案
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