Question

如图，在△ABC中．∠B=60°，⊙0是△ABC的外接圆，过点A作AP=AC，AP与CO的延长线交于点P，CP交⊙0于点D．
（1）求证：PA为⊙0的切线；
（2）若AC=3，求△APC的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OA、AD，求出∠ADC，求出∠ACD=30°=∠P，求出∠OAD=∠ODA=60°，∠PAD=30°，即可得出OA⊥AP，根据切线判定推出即可；
（2）过A作AF⊥CP于F，求出AF，CF，根据等腰三角形性质求出CP，根据三角形面积公式求出即可．

解答：
（1）证明：连接OA、AD，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∵CD为直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACD=180°-60°-90°=30°，
∵AP=AC，OD=OA，
∴∠P=∠ACO=30°，∠OAD=∠ADC=60°，
∴∠PAD=∠ADC-∠P=30°，
∴∠OAP=60°+30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O的切线．

（2）
解：过A作AF⊥CP于F，
则∠AFC=90°，
∵AC=3，∠ACF=30°，
∴AF=

1

2

AC=

3

2

，由勾股定理得：CF=

3

2

3

，
∵AP=AC，AF⊥CP，
∴CP=2CF=3

3

，
∴△APC的面积是

1

2

CP×AF=

1

2

×3

3

×

3

2

=

9

4

3

．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形性质和判定，三角形外角性质，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．