Question

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当

BE

CE

=1时，CF=

 

cm，
（2）当

BE

CE

=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当

BE

CE

=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

Answer 1

分析：（1）当

BE

CE

=1时，由AB∥DF，得

BE

CE

=

AB

CF

，由AB=6，CF可求．
（2）当

BE

CE

=2时，①点E在线段AB上时，延长AB′交DC于点M，求sin∠DAB′的值，即求

DM

AM

的值，由AB∥CF，可得△ABE∽△FCE，即得

BE

CE

=

AB

FC

=2，又AB=6，可得CF=3；由∠BAE=∠F，又∠BAE=∠B′AE，可得∠B′AE=∠F，即MA=MF．设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，解得k=

13

2

．得DM=

5

2

，

DM

AM

=

5

13

．即sin∠DAB′的值可求．②点E在不在线段AB上时，如图2所示，求sin∠DAB′的值，即是求

B′A

AN

的值，同理可求．
（3）当

BE

CE

=x时，求△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，同理需分两种情况，①动点的位置在线段BC上，所求△AB′E的面积即为△ABE的面积；②动点的位置不在线段BC上，△ADF的面积为所求．

解答：解：（1）当

BE

CE

=1时，∵AB∥DF，
∴

BE

CE

=

AB

CF

=1．
∵AB=6，
∴CF=6cm．

（2）①如图1．当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M．
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴

BE

CE

=

AB

FC

．
∵

BE

CE

=2，
∴CF=3；
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠F；
又∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠F，
∴MA=MF．
令MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，
解得k=MA=

13

2

，
∴DM=

5

2

．
∴sin∠DAB′=

DM

AM

=

5

13

．
②如图2．当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′N=12-m，
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m=AN=

15

2

，
∴B′N=

9

2

，
∴sin∠DAB′=

B′N

AN

=

3

5

．

（3）当

BE

CE

=x时，正方形ABCD的边长为6cm，△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y．分两种情况：
①当点E在BC上时．
∵

BE

CE

=x，
∴

BE

AB

=

x

1+x

，BE=

6x

1+x

，
∴y=

1

2

×AB×BE，即y=

18x

x+1

．
②当点E在BC延长线上时，△ADF的面积为所求．
∵

BE

CE

=x，∴

AB

CF

=

BE

CE

，
又∵AD=6，
∴FC=

6

x

，DF=6-

6

x

；
∴y=

1

2

×DF×AD，
∴y=

18x-18

x

．

点评：此题综合考查函数、正方形，平行线分线段成比例定理、图形的旋转、等知识点．分类讨论的思想，综合性强．