题目内容
（2013•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，| 3 | 2 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用交点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出点C坐标，确定CD∥OB；由题意，直线l平分四边形OBDC的面积，则S梯形OEFC=S梯形FDBE，据此列方程求出k的值；
（3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图2所示，然后证明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例线段关系得到式①：
=
，化简之后变为式②：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出t的值．
（2）首先求出点C坐标，确定CD∥OB；由题意，直线l平分四边形OBDC的面积，则S梯形OEFC=S梯形FDBE，据此列方程求出k的值；
（3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图2所示，然后证明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例线段关系得到式①：
| -xm |
| xn |
| t-ym |
| t-yn |
解答：
解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，
）在抛物线上，
∴
=a×3×（-1），解得a=-
，
∴抛物线解析式为：y=-
（x+1）（x-3）=-
x2+x+
．
（2）抛物线解析式为：y=-
x2+x+
，令x=0，得y=
，∴C（0，
），
∵D（2，
），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=
．
直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=
；令y=
，得x=
；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（
，0），F（
，
），
OE=
，BE=3-
，CF=
，DF=2-
．
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S梯形OEFC=S梯形FDBE，
∴
（OE+CF）•OC=
（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：
+
=（3-
）+（2-
），
解方程得：k=
，经检验k=
是原方程的解且符合题意，
∴k=
．
（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y=-
x2+x+
=-
（x-1）2+2，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=-
x2．
依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴
=
，即
=
①，
∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yn=kxn-2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn ②
把y=kx-2代入y=-
x2．，整理得：x2+2kx-4=0，
∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．
解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，
| 3 |
| 2 |
∴
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵D（2，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=
| 2 |
| k |
| 3 |
| 2 |
| 7 |
| 2k |
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（
| 2 |
| k |
| 7 |
| 2k |
| 3 |
| 2 |
OE=
| 2 |
| k |
| 2 |
| k |
| 7 |
| 2k |
| 7 |
| 2k |
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S梯形OEFC=S梯形FDBE，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OE+CF=FD+BE，即：
| 2 |
| k |
| 7 |
| 2k |
| 2 |
| k |
| 7 |
| 2k |
解方程得：k=
| 11 |
| 5 |
| 11 |
| 5 |
∴k=
| 11 |
| 5 |
（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴
| MD |
| NE |
| PD |
| PE |
| -xm |
| xn |
| t-ym |
| t-yn |
∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yn=kxn-2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn ②
把y=kx-2代入y=-
| 1 |
| 2 |
∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线的平移、相似三角形、一元二次方程根与系数关系、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问的解题要点是根据S梯形OEFC=S梯形FDBE（如答图1）列方程求解，第（3）问是存在型问题，综合利用相似三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根与系数关系求解．
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