Question

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

1.如图2，当BP=BA时，∠EBF=　 　°，猜想∠QFC=   °；

2.如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明

3.已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y ，求y关于的函数关系式．

 

Answer 1

 

1.  30°................1分

         　　   = 60°..................................3分

2.=60°.....................................4分

不妨设BP＞, 如图1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP  

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ..........................................5分                

在△ABP和△AEQ中  AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）.........................6分

∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................7分

∴∠BEF

∴=60°…………………………............8分

(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）

3.在图1中，过点F作FG⊥BE于点G

    　　　 ∵△ABE是等边三角形    　　∴BE=AB=，由（1）得30°

             在Rt△BGF中，     ∴EG²+GF²=EF²    ∴EF=2.......10分

    　　　 ∵△ABP≌△AEQ      ∴QE=BP=    ∴QF=QE＋EF................11分

   　　　过点Q作QH⊥BC，垂足为H

在Rt△QHF中，QH²+FH²=QF²

∴Y=（x＞0）

即y关于x的函数关系式是：.....................................................12分

 解析:略