Question

【题目】矩形中，（其中）

（1）点，分别在边，上，；

①如图，若，且点是中点，求证；

②如图，若，且，求证：；

（2）如图，当，时，点以的速度从到，点以的速度从到，当点到时两点都停止运动，则点的运动时间为多少时，的面积最小，最小面积为多少？

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）点的运动时间为秒时，的面积最小，且最小面积为．

【解析】

（1）①证明，证明CF=DF=，证得CF=DF；

②由得，，得，结合，令，则，，证得BC=2CF；

（2）表示出AE，DE，DF，CF，得出=，可得面积最小值．

解：（1）①是的中点

∴

∵

∴

令

则

∴

∵

∴

∵

∴

又∵

∴

∴，即

解得

∵

∵

∴

∵

②由得，

∴

又∵

∴，

∵

令，则

∴

∴

∴

故

（3），

，

，，，

∴==

（其中）

抛物线的图象开口向上

顶点为

∵

∴当时，有最小值，且最小值为

即点的运动时间为秒时，的面积最小，且最小面积为．