Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P。
（1）当OA=时，求点O到BC的距离；
（2）如图2，当OA=时，求证：直线BC 与⊙O相切；此时线段AP的长是多少？
（3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出 OA 的取值范围；
（4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少？

Answer 1

解：（1）在Rt△ABE中，
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴点O到BC的距离为；
（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB，
∴
∴
∴
∴直线BC与⊙O相切
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3-=，
∵OF⊥AC，
∴AP=2AF=
（3）；
（4）过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，
∴OG=OH，
∴矩形OGCH是正方形，
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，
∵△AOG∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AP=2AG=。