Question

（2013•闵行区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足为点E（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CD．
（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；
（2）如图2，设BC=x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当BC=16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）分别延长BA、CF相交于点P，证出

PA

PB

=

AF

BC

=

PF

PC

=

1

2

，PA=AB=8，得出AE=BE=

1

2

AB=4，PE=PA+AE=12，再根据EC=BE•tanB=4×2=8，求出PC=

PE2+EC2

=4

13

，最后根据在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，即可得出EF=

1

2

PC=2

13

，
（2）在Rt△PEC中，先求出BE=

1

2

EC，根据BC=x，BE²+EC²=BC²，得出BE=

5

5

x，EC=2BE=

2 5

5

x，AE=AB-BE=8-

5

5

x，求出PE=PA+AE=16-

5

5

x，最后由 PF=

1

2

PC，得y=S_△EFC=

1

4

•

2 5

5

x（16-

5

5

x），
（3）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，根据F为边AD的中点，得AF=DF=

1

2

AD=8，FD=CD，∠DFC=∠DCF．根据AB∥CD，得∠DCF=∠P，∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，根据∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，得EF=PF，∠AEF=∠P=∠DFC，最后根据∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，即可得k=3．

解答：解：（1）分别延长BA、CF相交于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵F为边AD的中点，
∴

PA

PB

=

AF

BC

=

PF

PC

=

1

2

，
∴PA=AB=8，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE=

1

2

AB=4，
∴PE=PA+AE=12，
∵CE⊥AB，
∴EC=BE•tanB=4×2=8．
∴PC=

PE2+EC2

=

122+82

=4

13

，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，
∴EF=

1

2

PC=2

13

，

（2）在Rt△PEC中，
∵tanB=

EC

BE

=2，
∴BE=

1

2

EC，
∵BC=x，BE²+EC²=BC²，
∴BE=

5

5

x，
∴EC=2BE=

2 5

5

x，
∴AE=AB-BE=8-

5

5

x，
∴PE=PA+AE=16-

5

5

x，
∵PF=

1

2

PC，
∴y=S_△EFC=

1

4

•

2 5

5

x（16-

5

5

x）=-

1

10

x²+

8 5

5

x，（0＜x≤8

5

），

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=8，AD=BC=16，
∵F为边AD的中点，
∴AF=DF=

1

2

AD=8，
∴FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠P，
∴∠DFC=∠P，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，
∴EF=PF，
∴∠AEF=∠P=∠DFC，
又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
∵∠EFD=k∠AEF，
∴k=3．

点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积等，关键是做出辅助线，构造直角三角形，求出线段的长．